Rumus Matematika ala Om Son !

Apa yang diajarkan di bagian ini adalah lanjutan dari turunan 1

Contoh 8

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = sec x

Jawab :

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h\rightarrow 0 \end{matrix} \frac{\sec(x+h)-\sec x}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\frac{1}{cos(x+h)}-\frac{1}{cosx}}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\frac{\cos x-cos(x+h)}{cos(x+h)\cos x}}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\cos x-cos(x+h)}{hcos(x+h)\cos x} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{-2sin\frac{1}{2}(2x+h)sin\frac{1}{2}(-h)}{hcos(x+h)\cos x} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{2\sin \frac{1}{2}h}{h}.\frac{sin\frac{1}{2}(2x+h)}{\cos (x+h)\cos x} \end{matrix}$

$f'(x)= 2.\frac{1}{2}.\frac{sin\frac{1}{2}(2x+0)}{\cos x.\cos x}=\frac{1}{\cos x}.\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x.\tan x$

Contoh 9 :
Tentukan turunan pertama dari f(x) = cot x

Jawab :

$f'(x)= \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\cot (x+h)-\cot x}{h} \end{matrix}$

$f'(x)= \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\frac{1}{tan(x+h)}-\frac{1}{tanx}}{h} \end{matrix}$

$f'(x)= \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\frac{\tan x -\tan (x+h)}{tan(x+h).tanx}}{h} \end{matrix}$

$f'(x)= \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\tan x -\tan (x+h)}{h.tan(x+h).tanx} \end{matrix}$

Rabu, 01 Agustus 2012

Rumus-Rumus Turunan

Jika anda ingin mempelajari dari awal, silakan klik di TURUNAN

Rumus-rumus Turunan
1. y = c maka y' = 0

2. y = xⁿ maka y' = nx^n-1
3. y = sin x maka y' = cos x
4. y = cos x maka y' = -sin x
5. y = tan x maka y' = sec² x
6. y = sec x maka y' = sec x tan x
7. y = cot x maka y' = - csc² x
8. y = csc x maka y' = -csc x cot x

contoh :
1. y = x³ + 6x² - 7x - 9
maka y' = 3x^3-1 + 2.6x^2-1 - 7 - 0
y' = 3x²+ 12x - 7

2. Tentukan turunan pertama dari
$y=\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{4}}$

Jawab :
     Bentuk tersebut bisa diubah menjadi

      $y = 5x^{-1}+7x^{-4}$

     Dengan demikian jika diturunkan akan menjadi
   $y'=-1.5x^{-1-1}+(-4).7x^{-4-1}$
   $y'=-5x^{-2}-28x^{-5}$
   $y'=-\frac{5}{x^{2}}-\frac{28}{x^{5}}$

3. Turunan pertama dari fungsi $y=\sqrt{x}+\sqrt[5]{x}$ adalah

   Jawab :
   Langkah pertama bentuk tersebut kita ubah menjadi
   $y=x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{5}}$

Setelah itu kita bisa langsung menurunkan
   $y'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}+\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}$
    atau
    $y'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$
    Pangkat-pangkat negatif bisa dipindahkan ke bawah, sehingga menjadi
   $y'=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}$
    Bentuk ini bisa kita ubah menjadi bentuk akar sebagai berikut

   $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{5\sqrt[5]{x}}$

Kamis, 15 Maret 2012

Turunan 4

materi ini adalah lanjutan dari Turunan 1

Contoh 6
Turunan pertama dari fungsi f(x) = cos x adalah ....

Jawab
$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\frac{-2\sin \frac{1}{2}(2x+h)sin\frac{1}{2}h}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\left ( -2\sin \frac{1}{2}(2x+h)\frac{sin\frac{1}{2}h}{h} \right )$
$f'(x)=-2\sin \frac{1}{2}(2x+0).\frac{1}{2}$

$f'(x)=-\sin x$

Contoh 7
Tentukan turunan pertama dari f(x) = tan x

Jawab :
$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\left ( \frac{tan(x+h)-tanx}{h} \right )$
Karena
$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}$
maka
tan A - tan B = tan (A-B)(1 + tan A. tan B)
sehingga
tan(x+h)-tan x= tan (x + h - x)(1 + tan (x + h) tan x)
tan(x+h)-tan x= tan h . (1 + tan (x + h) tan x)
Jadi
$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\left ( \frac{\tan h\left [ 1+tan(x+h)\tan x \right ]}{h} \right )$
$f'(x)=\begin{matrix} lim\\ h \to \0 \end{matrix}\left \frac{\tan h}{h} \left[1+tan(x+h)\tan x \right ]$

f'(x)=1.(1+tan(x+0).tan x)
f'(x)=1 + tan²x
f'(x) = sec²x

Luas Daerah

Buktikan bahwa luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = ax² + bx + c dengan sumbu x adalah

$L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}$

Jawab :
Jika kita anggap parabola membuka ke atas dan titik potong dengan sumbu x adakah di 2 titik.

Jika parabola kita anggap membuka ke atas sesuai gambar maka
$L=-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left ( ax^{2}+bx+c \right )dx$

$L=-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left a(x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )dx$
untuk lebih mudahnya bisa kita buat pemisalan
y= x - x₁ maka dy = dx atau dx = dy, sehingga
jika x = x₁ maka y = 0
jika x = x₂ maka y = x₂ - x₁
Jadi
$L=-\int_{0}^{x_{2}-x_{1}}ay\left ( y+x_{1}-x_{2} \right )dy$
$L=-\int_{0}^{x_{2}-x_{1}}a\left ( y^{2} +(x_{1}-x_{2})y\right )dy$
$L=-\int_{0}^{x_{2}-x_{1}}a\left ( y^{2} -(x_{2}-x_{1})y\right )dy$
$L=-a\left ( \frac{1}{3}y^{3}-\frac{1}{2}\left ( x_{2}-x_{1} \right )y^{2} \right )\left | \begin{matrix} ^{x_{2}-x_{1}}\\ _{0} \end{matrix} \right$
$L=-a\left [ \frac{1}{3}(x_{2}-x_{1})^{3} -\frac{1}{2}(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{1})^{2}\right ]$
$L=-a\left [ \frac{1}{3}(x_{2}-x_{1})^{3} -\frac{1}{2}(x_{2}-x_{1})^{3}\right ]$
$L=-a\left [ -\frac{1}{6}(x_{2}-x_{1})^{3} \right ]=\frac{1}{6}a(x_{2}-x_{1})^{3}$
Karena $x_{2}-x_{1}=\frac{\sqrt{D}}{a}$ maka
$L=\frac{1}{6}a\left ( \frac{\sqrt{D}}{a} \right )^{3}=\frac{1}{6}a\frac{D\sqrt{D}}{a^{3}}=\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}$

Fungsi Trigonometri 2

sinus, cosinus, tangen dan cotangen memiliki hubungan sebagai berikut
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos\alpha }$
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin\alpha }$
$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$
$1+\tan^{2}\alpha =\sec^{2}\alpha$
$1+\cot^{2}\alpha =\csc^{2}\alpha$
Jadi,
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$
sementara itu, secan dan cosecan memiliki hubungan sebagai berikut:
$\begin{matrix} \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha } & dan & \csc \alpha =\frac{1}{sin\alpha } \end{matrix}$

Perhatikan gambar

Perhatikan gam

bar
$\begin{matrix} \sin \alpha =\frac{y}{r} ===> y = r sin\alpha \\ \cos \alpha =\frac{x}{r} ===> x = r cos\alpha \end{matrix}$
Menurut pythagoras berlaku :
$\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=r^{2}\\(r\cos \alpha )^{2}+(r\sin \alpha )^{2}=r^{2} \\ r^{2}\cos ^2 {\alpha }+r^{2}sin^2 {\alpha }=r^{2} \end{matrix}$
Jika kedua ruas dibagi dengan r² maka diperoleh
$\begin{matrix} \cos ^2{\alpha }+\sin ^{2}\alpha =1 & ..............(1) \end{matrix}$
Jika kedua ruas dibagi dengan cos² maka diperoleh
$1+\tan^{2}\alpha =\sec^{2}\alpha$
Jika kedua ruas pada persamaan (1) dibagi dengan sin² maka diperoleh
$\cot^{2}\alpha +1=\csc^{2}\alpha$

HOT NEWS